Derivatif nomor: metode menghitung dan contoh

Mungkin konsep turunan akrab bagi kita semua sejak SMA. Biasanya siswa mengalami kesulitan memahami ini tidak diragukan lagi hal yang sangat penting. Hal ini secara aktif digunakan di berbagai bidang kehidupan masyarakat, dan banyak rekayasa didasarkan tepatnya pada perhitungan matematis yang diperoleh turunan. Tapi sebelum melanjutkan ke analisis apa merupakan turunan dari angka saat mereka menghitung dan di mana mereka akan berguna, menggali sedikit ke dalam sejarah.

cerita

Konsep derivatif, yang merupakan dasar dari analisis matematika, terbuka (bahkan lebih baik untuk mengatakan "diciptakan" karena, seperti, tidak ada di alam) Isaakom Nyutonom, yang kita semua tahu dari penemuan hukum gravitasi. Dialah yang pertama kali digunakan konsep ini dalam fisika untuk sifat mengikat dari kecepatan dan percepatan tubuh. Dan banyak ilmuwan masih memuji Newton untuk penemuan yang luar biasa ini, karena pada kenyataannya ia menemukan dasar diferensial dan kalkulus integral, dasar faktual dari seluruh bidang matematika yang disebut "analisis matematis". Apakah pada saat Hadiah Nobel, Newton mungkin akan menerima beberapa kali.

Bukan tanpa pikiran besar lainnya. Selain Newton pada pengembangan bekerja jenius terkemuka seperti turunan dan integral dari matematika sebagai Leonhard Euler, Lagrange dan Louis Gotfrid Leybnits. Hal ini berkat mereka kita memiliki teori kalkulus diferensial dalam bentuk yang ada sampai hari ini. Kebetulan, ini adalah Leibniz menemukan arti geometris dari derivatif, yang tidak lebih dari kemiringan garis singgung dengan grafik fungsi.

Apa adalah turunan dari angka? Bit ulangi apa yang terjadi di sekolah.

Apa derivatif?

Mendefinisikan konsep ini dalam beberapa cara berbeda. Penjelasan paling sederhana: Derivatif - itu adalah tingkat fungsi perubahan. Mewakili grafik fungsi y dari x. Jika tidak lurus, memiliki beberapa kurva dalam grafik, periode kenaikan dan penurunan. Jika Anda mengambil selang kecil dari jadwal, itu akan menjadi segmen garis lurus. Jadi, rasio ukuran segmen kecil dari y untuk ukuran x koordinat, dan akan menjadi turunan dari fungsi pada titik tertentu. Jika kita mempertimbangkan fungsi secara keseluruhan, bukan pada titik tertentu, kita memperoleh fungsi derivatif, yaitu ketergantungan tertentu pada X y.

Selain itu, terlepas dari arti fisik turunan sebagai fungsi dari tingkat perubahan, ada juga rasa geometris. Di atasnya, kita sekarang membahas.

Geometris arti

nomor Derivatif sendiri sejumlah tertentu yang tidak pemahaman yang tepat tidak membawa arti apapun. Ternyata derivatif tidak hanya menunjukkan tingkat pertumbuhan atau mengurangi fungsi, dan kemiringan garis singgung pada grafik fungsi pada saat itu. definisi tidak sepenuhnya jelas. Mari kita memeriksa secara rinci. Misalkan kita memiliki grafik fungsi (untuk mengambil kurva bunga). Ini memiliki jumlah tak terbatas poin, tetapi ada daerah di mana hanya satu titik memiliki maksimum atau minimum. Melalui titik tersebut, Anda dapat menggambar garis lurus, yang akan tegak lurus terhadap grafik fungsi pada saat itu. Baris ini akan disebut garis singgung. Misalkan kita mengangkatnya ke persimpangan dengan OX sumbu. Jadi diperoleh antara tangen dan OX sumbu dan sudut akan ditentukan oleh turunan. Lebih khusus, tangen dari sudut ini akan sama dengan itu.

Mari kita bicara sedikit tentang kasus-kasus tertentu dan turunannya Mari kita memeriksa nomor.

kasus khusus

Seperti yang telah kita sebutkan, turunan dari angka - nilai turunan pada titik tertentu. Di sini, misalnya, mengambil fungsi y = x ^2. Turunan dari x - angka, tetapi secara umum - fungsi sama dengan 2 * x. Jika kita perlu menghitung turunan, misalnya, pada titik x ₀ = 1, kita mendapatkan y '(1) = 2 * 1 = 2. Ini sangat sederhana. Kasus yang menarik adalah turunan dari bilangan kompleks. Untuk masuk ke penjelasan rinci tentang apa nomor yang kompleks, kita tidak akan. Cukuplah untuk mengatakan bahwa jumlah ini yang berisi disebut satuan imajiner - jumlah yang persegi sama -1. Perhitungan derivatif ini hanya mungkin dengan ketentuan sebagai berikut:

1) Harus ada urutan pertama turunan parsial dari bagian real dan imajiner y dan X.

2) kondisi Cauchy-Riemann terkait dengan kesetaraan parsial yang dijelaskan dalam paragraf pertama.

Kasus lain yang menarik, meskipun tidak rumit seperti sebelumnya, merupakan turunan dari angka negatif. Bahkan, setiap angka negatif dapat direpresentasikan sebagai positif, dikalikan dengan -1. Nah, turunan dan fungsi konstan sama dengan konstan dikalikan dengan turunan dari fungsi.

Ini akan menarik untuk belajar tentang peran derivatif dalam kehidupan sehari-hari mereka, dan ini sekarang dan membahasnya.

aplikasi

Mungkin kita masing-masing setidaknya sekali dalam seumur hidup menangkap diri saya berpikir bahwa matematika tidak mungkin berguna baginya. Dan suatu hal yang rumit karena turunan mungkin tidak ada gunanya. Bahkan, matematika - ilmu dasar, dan semua buah-buahan yang berkembang terutama fisika, kimia, astronomi dan bahkan ekonomi. Derivatif menandai awal dari analisis matematika, yang memberi kami kesempatan untuk menarik kesimpulan dari grafik fungsi, dan kami telah belajar untuk menafsirkan hukum-hukum alam dan mengubah mereka untuk keuntungan mereka karena itu.

kesimpulan

Tentu saja, tidak semua orang dapat berguna untuk turunan dalam kehidupan nyata. Tapi matematika mengembangkan logika yang pasti akan butuhkan. Bukan untuk apa-apa karena matematika disebut ratu ilmu: itu terdiri dari pemahaman dasar tentang bidang pengetahuan lainnya.