Diferensial - apa ini? Bagaimana menemukan diferensial fungsi?

Seiring dengan derivatif fungsi mereka perbedaan - itu beberapa konsep dasar dari kalkulus diferensial, bagian utama dari analisis matematis. Sebagai terkait erat, keduanya beberapa abad banyak digunakan dalam memecahkan hampir semua masalah yang muncul dalam proses kegiatan ilmiah dan teknis.

Munculnya konsep diferensial

Untuk pertama kalinya membuat jelas bahwa diferensial tersebut, salah satu pendiri (bersama dengan Isaakom Nyutonom) diferensial kalkulus matematika Jerman yang terkenal Gotfrid Vilgelm Leybnits. Sebelum itu hebat matematika abad ke-17. digunakan ide yang sangat jelas dan samar-samar dari beberapa sangat kecil "yang tak terbagi" dari setiap fungsi yang diketahui, mewakili nilai konstan yang sangat kecil tapi tidak sama dengan nol, di bawah ini yang menghargai fungsi tidak dapat hanya. Oleh karena itu hanya satu langkah untuk pengenalan pengertian tentang kenaikan kecil dari argumen fungsi dan penambahan masing-masing fungsi yang dapat dinyatakan dalam turunan dari yang terakhir. Dan langkah ini diambil hampir bersamaan di atas dua ilmuwan besar.

Berdasarkan kebutuhan untuk mengatasi mendesak masalah mekanik praktis yang dihadapi ilmu pengetahuan berkembang pesat industri dan teknologi, Newton dan Leibniz menciptakan cara umum untuk menemukan fungsi laju perubahan (khususnya yang berkaitan dengan kecepatan mekanik tubuh lintasan dikenal), yang menyebabkan pengenalan konsep-konsep seperti, sebagai fungsi turunan dan diferensial, dan juga menemukan solusi masalah algoritma terbalik sebagaimana diketahui per se (variabel) kecepatan dilalui untuk menemukan jalan yang telah menyebabkan konsep yang tidak terpisahkan Ala.

Dalam karya-karya Leibniz dan Newton ide pertama terlihat bahwa perbedaan - sebanding dengan kenaikan argumen dasar Δh increment fungsi Δu yang dapat berhasil diterapkan untuk menghitung nilai yang terakhir. Dengan kata lain, mereka telah menemukan bahwa fungsi kenaikan mungkin pada setiap titik (dalam domainnya definisi) dinyatakan melalui turunan kedua Δu = y '(x) Δh + αΔh mana α Δh - sisanya, cenderung nol sebagai Δh → 0, jauh lebih cepat daripada Δh yang sebenarnya.

Menurut pendiri analisis matematis, selisih - ini adalah persis istilah yang pertama dengan penambahan fungsi apapun. Bahkan tanpa harus didefinisikan secara jelas urutan konsep batas dipahami secara intuitif bahwa nilai diferensial dari turunan cenderung berfungsi ketika Δh → 0 - Δu / Δh → y '(x).

Tidak seperti Newton, yang terutama seorang ahli fisika dan aparat matematika dianggap sebagai alat bantu untuk studi masalah fisik, Leibniz lebih memerhatikan toolkit ini, termasuk sistem simbol visual dan dipahami nilai-nilai matematika. Dialah yang mengusulkan notasi standar perbedaan fungsi dy = y '(x) dx, dx, dan turunan dari fungsi argumen sebagai y hubungan mereka' (x) = dy / dx.

Definisi yang modern

Apa diferensial dalam hal matematika modern? Hal ini erat kaitannya dengan konsep kenaikan variabel. Jika variabel y mengambil nilai pertama dari y y = _1, maka y = y _2, perbedaan y ₂ ─ y ₁ disebut nilai selisih y. Peningkatan ini dapat menjadi positif. negatif dan nol. Kata "Selisih" ditunjuk Δ, Δu rekaman (baca 'delta y') menunjukkan nilai selisih y. sehingga Δu = y ₂ ─ y _1.

Jika nilai Δu fungsi sewenang-wenang y = f (x) dapat direpresentasikan sebagai Δu = A Δh + α, di mana A adalah tidak ada ketergantungan pada Δh, t. E. A = const untuk diberikan x, dan α jangka ketika Δh → 0 cenderung itu bahkan lebih cepat dari yang sebenarnya Δh, maka yang pertama ( "master") istilah proporsional Δh, dan untuk y = f (x) diferensial, dilambangkan dy atau df (x) (baca "y de", "de eff dari X"). Oleh karena itu perbedaan - sebuah "utama" linear sehubungan dengan komponen bertahap fungsi Δh.

penjelasan mekanik

Mari s = f (t) - jarak dalam garis lurus bergerak titik materi dari posisi awal (t - waktu perjalanan). Kenaikan Δs - adalah titik jalan selama interval waktu AT, dan ds diferensial = f '(t) AT - jalan ini, mana titik akan diadakan untuk waktu yang sama AT, jika mempertahankan kecepatan f' (t), dicapai pada waktu t . Ketika ds AT jalur imajiner sangat kecil berbeda dari Δs sebenarnya amat memiliki tatanan yang lebih tinggi sehubungan dengan AT. Jika kecepatan pada saat t tidak sama dengan nol, ds nilai perkiraan memberikan titik bias kecil.

interpretasi geometris

Biarkan garis L adalah grafik dari y = f (x). Kemudian Δ x = MQ, Δu = QM '(lihat. Gambar di bawah). Tangent MN istirahat Δu dipotong menjadi dua bagian, QN dan NM'. Pertama dan Δh sebanding QN = MQ ∙ tg (angle QMN) = Δh f '(x), t. E QN adalah diferensial dy.

Bagian kedua dari perbedaan Δu NM'daet ─ dy, ketika Δh → 0 NM panjang 'menurun bahkan lebih cepat dari kenaikan argumen, yaitu memiliki urutan kecilnya lebih tinggi dari Δh. Dalam hal ini, jika f '(x) ≠ 0 (bersinggungan non-paralel OX) segmen QM'i QN setara; dengan kata lain NM 'menurun dengan cepat (urutan kecilnya yang lebih tinggi) dari total kenaikan Δu = QM'. Hal ini terbukti pada Gambar (mendekati segmen M'k M NM'sostavlyaet semua kecil persentase QM 'segmen).

Jadi, grafis diferensial fungsi sewenang-wenang sama dengan peningkatan ordinat dari tangen.

Derivatif dan diferensial

Faktor dalam jangka pertama dari fungsi increment ekspresi adalah sama dengan nilai f turunannya '(x). Dengan demikian, berikut hubungan - dy = f '(x) Δh atau df (x) = f' (x) Δh.

Hal ini diketahui bahwa peningkatan argumen independen sama dengan diferensial Δh = dx nya. Dengan demikian, kita bisa menulis: f '(x) dx = dy.

Menemukan (kadang-kadang dikatakan "keputusan") perbedaan dilakukan dengan aturan yang sama seperti untuk derivatif. Sebuah daftar mereka diberikan di bawah ini.

Apa yang lebih universal: kenaikan dari argumen atau diferensial yang

Di sini perlu untuk membuat beberapa klarifikasi. representasi nilai f '(x) diferensial Δh mungkin ketika mempertimbangkan x sebagai argumen. Namun fungsi tersebut dapat menjadi kompleks, di mana x dapat menjadi fungsi dari t argumen. Kemudian representasi dari ekspresi diferensial dari f '(x) Δh, sebagai suatu peraturan, adalah mustahil; kecuali dalam kasus ketergantungan linear x = di + b.

Sebagai dengan rumus f '(x) dx = dy, maka dalam kasus independen argumen x (kemudian dx = Δh) dalam kasus ketergantungan parametrik x t, itu adalah diferensial.

Sebagai contoh, ekspresi 2 x Δh adalah untuk y = x ² diferensial ketika x adalah argumen. Kami sekarang x = t ² dan menganggap t argumen. Maka y = x ² = t ^4.

Ini diikuti dengan (t + AT) ² = t ² + 2tΔt + AT ^2. Oleh karena itu Δh = 2tΔt + AT ^2. Oleh karena itu: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + AT ^2).

Ungkapan ini tidak sebanding dengan AT, dan karena itu sekarang 2xΔh tidak diferensial. Hal ini dapat ditemukan dari persamaan y = x ² = t ^4. Hal ini dy sama = 4t ³ AT.

Jika kita mengambil ekspresi 2xdx, itu adalah diferensial y = x ² untuk setiap argumen t. Memang, ketika x = t ² mendapatkan dx = 2tΔt.

Jadi 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. perbedaan ekspresi direkam oleh dua variabel yang berbeda bersamaan.

Mengganti bertahap perbedaan

Jika f '(x) ≠ 0, maka Δu dan dy setara (ketika Δh → 0); jika f '(x) = 0 (makna dan dy = 0), mereka tidak setara.

Sebagai contoh, jika y = x ^2, maka Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² dan dy = 2xΔh. Jika x = 3, maka kita memiliki Δu = 6Δh + Δh ² dan dy = 6Δh yang setara karena Δh ² → 0, ketika x = 0 nilai Δu = Δh ² dan dy = 0 tidak setara.

Fakta ini, bersama-sama dengan struktur sederhana dari diferensial (m. E. Linearitas sehubungan dengan Δh), sering digunakan dalam perhitungan perkiraan, pada asumsi bahwa Δu ≈ dy untuk Δh kecil. Cari fungsi diferensial biasanya lebih mudah daripada menghitung nilai yang tepat dari kenaikan tersebut.

Sebagai contoh, kita memiliki kubus logam dengan tepi x = 10,00 cm. Pada pemanasan tepi diperpanjang pada Δh = 0,001 cm. Bagaimana peningkatan volume kubus V? Kami memiliki V = x ^2, sehingga dV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ ^{10 Feb} 0/01 = 3 (cm ^3). Peningkatan ΔV setara diferensial dV, sehingga ΔV = 3 cm ^3. penuh perhitungan akan memberikan ³ ΔV = 10,01 ─ ^{10 Mar} = 3,003001. Tetapi hasil dari semua digit kecuali diandalkan pertama; Oleh karena itu, masih diperlukan untuk melengkapi hingga 3 cm ^3.

Jelas, pendekatan ini hanya berguna jika mungkin untuk memperkirakan nilai disampaikan dengan kesalahan.

Fungsi Diferensial: contoh

Mari kita mencoba untuk menemukan diferensial dari fungsi y = x ^3, menemukan turunan. Mari kita memberikan kenaikan argumen Δu dan menentukan.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

Di sini, koefisien A = 3x ² tidak tergantung pada Δh, sehingga istilah pertama adalah proporsional Δh, yang lain anggota 3xΔh Δh ² + ³ ketika Δh → 0 menurun lebih cepat dari kenaikan argumen. Akibatnya, anggota dari 3x ² Δh diferensial dari y = x ^3:

dy = 3x ² Δh = 3x ² dx atau d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Dimana d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy Kami sekarang menemukan fungsi y = 1 / x oleh turunan. Kemudian d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Oleh karena itu dy = ─ Δh / x ^2.

Diferensial fungsi aljabar dasar diberikan di bawah ini.

perhitungan perkiraan menggunakan diferensial

Untuk mengevaluasi fungsi f (x), dan turunannya f '(x) pada x = a seringkali sulit, tetapi untuk melakukan hal yang sama di sekitar x = a tidak mudah. Kemudian datang ke bantuan dari ekspresi perkiraan

f (a + Δh) ≈ f '(a) Δh + f (a).

Hal ini memberikan nilai perkiraan fungsi pada sedikit demi sedikit melalui diferensial yang Δh f '(a) Δh.

Oleh karena itu, formula ini memberikan ekspresi perkiraan untuk fungsi di titik akhir dari bagian panjang Δh sebagai jumlah dari nilai di titik awal dari bagian (x = a) dan diferensial di titik awal yang sama. Akurasi metode untuk menentukan nilai-nilai fungsi di bawah ini menggambarkan gambar.

Namun diketahui dan ekspresi yang tepat untuk nilai fungsi x = a + Δh diberikan oleh kenaikan terbatas rumus (atau, alternatif, rumus Lagrange)

f (a + Δh) ≈ f '(ξ) Δh + f (a),

di mana titik x = a + ξ adalah dalam interval dari x = a ke x = a + Δh, meskipun posisi yang tepat tidak diketahui. Formula yang tepat memungkinkan untuk mengevaluasi kesalahan rumus perkiraan. Jika kita menempatkan di Lagrange rumus ξ = Δh / 2, meskipun berhenti menjadi akurat, tetapi memberikan, sebagai aturan, pendekatan jauh lebih baik daripada ekspresi asli dalam hal diferensial tersebut.

formula evaluasi kesalahan dengan menerapkan diferensial

Alat ukur , pada prinsipnya, tidak akurat, dan membawa ke data pengukuran sesuai dengan kesalahan. Mereka ditandai dengan membatasi kesalahan mutlak, atau, singkatnya, kesalahan batas - positif, jelas melebihi kesalahan dalam nilai absolut (atau paling sama dengan itu). Membatasi kesalahan relatif disebut quotient diperoleh dengan membagi dengan nilai absolut dari nilai yang terukur.

Mari sebenarnya rumus y = f (x) fungsi yang digunakan untuk vychislyaeniya y, tapi nilai x adalah hasil pengukuran, dan karena itu membawa y error. Kemudian, untuk menemukan membatasi kesalahan mutlak │Δu│funktsii y, menggunakan rumus

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

di mana │Δh│yavlyaetsya marginal error argumen. kuantitas │Δu│ harus dibulatkan ke atas, seperti Perhitungan akurat itu sendiri adalah penggantian selisih perhitungan diferensial.