Akar persamaan kuadrat: makna aljabar dan geometri

Dalam aljabar persegi disebut persamaan urutan kedua. Dengan persamaan menyiratkan ekspresi matematika, yang memiliki dalam komposisi dari satu atau lebih dikenal. persamaan orde kedua - persamaan matematika memiliki setidaknya satu yang tidak diketahui dalam derajat persegi. The persamaan kuadrat - orde kedua persamaan menunjukkan identitas berarti sama dengan nol. Memecahkan persamaan kuadrat adalah sama yang menentukan akar kuadrat dari persamaan. persamaan kuadrat khas dalam bentuk umum:

W * c ^ 2 + T * c + O = 0

dimana W, T - koefisien akar persamaan kuadrat;

O - koefisien bebas;

c - akar kuadrat persamaan (selalu memiliki dua nilai c1 dan c2).

Seperti telah disebutkan, masalah memecahkan persamaan kuadrat - menemukan akar persamaan kuadrat. Untuk menemukan mereka, Anda perlu menemukan diskriminan sebuah:

N = T ^ 2 - 4 * W * O

Rumus diskriminan yang diperlukan untuk menemukan solusi akar c1 dan c2:

c1 = (-T + √n) / 2 * W dan c2 = (-T - √n) / 2 * W

Jika persamaan kuadrat dari faktor bentuk umum pada akar T memiliki nilai ganda, persamaan diganti dengan:

W * c ^ 2 + 2 * U * c + O = 0

Dan akarnya terlihat seperti ungkapan:

c1 = [-U + √ (U ^ 2-W * O)] / W dan c2 = [-U - √ (U ^ 2-W * O)] / W

Seringkali persamaan mungkin memiliki penampilan yang sedikit berbeda ketika C_2 mungkin tidak memiliki W. koefisien Dalam hal ini, persamaan di atas memiliki bentuk:

c ^ 2 + F * c + L = 0

di mana F - faktor pada akar;

L - faktor bebas;

c - akar alun-alun (selalu memiliki dua nilai c1 dan c2).

Jenis persamaan disebut persamaan kuadrat diberikan. Nama "mengurangi" pergi dari rumus aktuasi khas persamaan kuadrat, jika koefisien W root memiliki nilai satu. Dalam hal ini, akar persamaan kuadrat:

c1 = -F / 2 + √ [(F / 2) ^ 2-L)] dan c2 = -F / 2 - √ [(F / 2) ^ 2-L)]

Dalam kasus nilai-nilai bahkan koefisien akar akar F akan memiliki solusi:

c1 = -F + √ (F ^ 2-L) c2 = -F - √ (F ^ 2-L)

Jika kita berbicara tentang persamaan kuadrat, perlu untuk mengingat teorema Vieta. Ini menyatakan bahwa undang-undang berikut untuk persamaan kuadrat dikurangi:

c ^ 2 + F * c + L = 0

c1 + c2 = -F dan c1 * c2 = L

Secara umum persamaan kuadrat akar persamaan kuadrat adalah dependensi terkait:

W * c ^ 2 + T * c + O = 0

c1 + c2 = -T / W dan c1 * c2 = O / W

Sekarang mempertimbangkan pilihan dari persamaan kuadrat dan solusi mereka. Semua dari mereka dapat dua, seolah anggota dari c_2 hilang, maka persamaan tidak akan persegi. Oleh karena itu:

1. W * c ^ 2 + T * c = 0 dari perwujudan persamaan kuadrat tanpa faktor bebas (anggota).

Solusinya adalah:

W * c ^ 2 = -T * c

c1 = 0, c2 = -T / W

2. W * c ^ 2 + O = 0 dari perwujudan persamaan kuadrat tanpa jabatan kedua, ketika sama modulo akar persamaan kuadrat.

Solusinya adalah:

W * c ^ 2 = -O

c1 = √ (-O / W), c2 = - √ (-O / W)

Semua ini adalah aljabar. Mempertimbangkan arti geometris yang memiliki persamaan kuadrat. persamaan urutan kedua dalam geometri digambarkan oleh fungsi parabola. cukup sering tugas ini adalah untuk menemukan akar persamaan kuadrat untuk siswa SMA? akar-akar ini memberikan konsep tentang bagaimana untuk memotong fungsi grafik (parabola) dengan sumbu koordinat - horizontal. Jika, setelah memutuskan persamaan kuadrat, kita mendapatkan keputusan yang tidak rasional dari akar, maka persimpangan tidak akan. Jika akar memiliki satu nilai fisik, fungsi melintasi sumbu x di satu tempat. Jika dua akar, kemudian, masing-masing, - dua titik persimpangan.

Perlu dicatat bahwa di bawah akar irasional menyiratkan nilai negatif di bawah akar, di temuan root. nilai fisik - setiap nilai positif atau negatif. Dalam kasus menemukan hanya satu akar berarti bahwa akar yang sama. Orientasi kurva dalam sistem koordinat Kartesius dapat juga menjadi pra-ditentukan oleh koefisien akar W dan T. Jika W memiliki nilai positif, dua cabang dari parabola diarahkan ke atas. Jika W memiliki nilai negatif, - ke bawah. Juga, jika koefisien B memiliki tanda positif, dimana W juga positif, vertex dari fungsi parabola berada dalam "y" dari "-" hingga tak terbatas "+" infinity, "c" di kisaran minus tak terhingga ke nol. Jika T - nilai positif, dan W - negatif, di sisi lain absis.