Deret ukur. CONTOH keputusan

Pertimbangkan berturut-turut.

7 28 112 448 1792 ...

Cukup jelas menunjukkan bahwa nilai dari setiap elemen yang lebih dari sebelumnya tepat empat kali. Jadi, seri ini adalah perkembangan a.

deret ukur disebut urutan yang tak terbatas dari angka, fitur utama yang adalah bahwa jumlah berikut ini didapat dari atas dengan mengalikan oleh beberapa nomor yang pasti. Hal ini dinyatakan dengan rumus berikut.

_{z 1 = a z · q} , di mana z - jumlah elemen yang dipilih.

Dengan demikian, z ∈ N.

Suatu waktu ketika sekolah dipelajari deret ukur - 9 kelas. Contoh akan membantu memahami konsep:

0,25 0,125 0,0625 ...

18 Feb 6 ...

Berdasarkan rumus ini, perkembangan penyebut dapat ditemukan sebagai berikut:

Baik q, atau b _z tidak dapat nol. Juga, masing-masing unsur dari serangkaian angka kemajuan tidak harus nol.

Dengan demikian, untuk melihat nomor berikutnya angka, kalikan yang terakhir oleh q.

Untuk menentukan perkembangan ini, Anda harus menentukan elemen pertama itu dan penyebut. Setelah itu adalah mungkin untuk menemukan salah satu anggota berikut dan jumlah mereka.

jenis

Tergantung pada q dan _1, perkembangan ini dibagi menjadi beberapa jenis:

• Jika _1, dan q lebih besar dari satu, maka berurutan - meningkat dengan setiap elemen berurutan dari deret ukur. Contoh-contohnya rinci di bawah ini.

Contoh: ₁ = 3, q = 2 - lebih besar daripada satu, kedua parameter.

Kemudian urutan angka dapat ditulis sebagai:

3 6 12 24 48 ...

• Jika | q | kurang dari satu, yaitu, itu setara dengan perkalian dengan pembagian, perkembangan dengan kondisi yang sama - penurunan deret ukur. Contoh-contohnya rinci di bawah ini.

Contoh: ₁ = 6, q = 1/3 - ₁ lebih besar dari satu, q - kurang.

Kemudian urutan angka dapat ditulis sebagai berikut:

Juni 2 2/3 ... - unsur lebih unsur-unsur berikut, adalah 3 kali.

• Bolak-balik. Jika q <0, tanda-tanda nomor urutan bolak terus-menerus terlepas dari _1, dan unsur-unsur dari setiap kenaikan atau penurunan.

Contoh: ₁ = -3, q = -2 - keduanya kurang dari nol.

Kemudian urutan angka dapat ditulis sebagai:

3, 6, -12, 24, ...

rumus

Untuk penggunaan yang mudah, ada banyak deret ukur dari rumus:

• Formula z-th jangka. Hal ini memungkinkan perhitungan elemen dalam jumlah tertentu tanpa menghitung angka sebelumnya.

Contoh: q = 3, a = ₁ 4. diperlukan untuk menghitung perkembangan elemen keempat.

Solusi: a = ₄ 4 3 · ^4-1 · 3 = 4 ³ = 4 · 27 = 108.

• Jumlah dari elemen pertama, yang jumlahnya sama dengan z. Hal ini memungkinkan perhitungan jumlah dari semua elemen di urutan ke inklusif _z.

≠ 0, dengan demikian, q tidak 1 - (q 1) Sejak (1- q) adalah pada penyebut, maka.

Catatan: jika q = 1, maka perkembangan yang akan mewakili sejumlah tanpa henti mengulangi nomor tersebut.

Jumlah eksponensial contoh: ₁ = 2, q = -2. Hitung S _5.

Solusi: S ₅ = 22 - formula perhitungan.

• Jumlah jika | q | <1 dan ketika z cenderung tak terbatas.

Contoh: ₁ = _2, q = 0,5. Cari jumlahnya.

Solusi: S _z = 2 x = 4

Jika kita menghitung jumlah dari beberapa anggota manual, Anda akan melihat bahwa itu memang berkomitmen untuk empat.

S _z = 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 3,9375 4

Beberapa sifat:

• Sebuah properti yang khas. Jika kondisi berikut Ini berlaku untuk z apapun, kemudian diberi serangkaian numerik - sebuah deret ukur:

_z ² = A _{z -1} · A _{z + 1}

• Hal ini juga kuadrat dari setiap nomor secara eksponensial dengan cara penambahan kuadrat dari dua angka lain dalam baris yang diberikan, jika mereka berjarak sama dari elemen.

² _z = _z a _{- t} ² _{+ z} + _t ² di mana t - jarak antara angka-angka ini.

• Unsur-unsur berbeda dengan kali q.
• Logaritma dari unsur perkembangan serta membentuk perkembangan, tapi aritmatika, yaitu, masing-masing lebih dari yang sebelumnya dengan jumlah tertentu.

Contoh beberapa masalah klasik

Untuk lebih memahami apa deret ukur, dengan contoh-contoh keputusan untuk kelas 9 dapat membantu.

• Syarat dan ketentuan: ₁ = 3, ₃ = 48. Cari q.

Solusi: setiap elemen berturut-turut di lebih dari q sebelumnya waktu. Hal ini diperlukan untuk mengungkapkan beberapa elemen melalui lain melalui denominator.

Akibatnya, ₃ = q ² · ₁

Ketika mengganti q = 4

• Kondisi: ₂ = 6, a = ₃ 12. Hitung S _6.

Solusi: Untuk melakukan ini, itu sudah cukup untuk menemukan q, elemen pertama dan pengganti ke dalam rumus.

₃ = q · _2, akibatnya, q = 2

₂ = q · A _1, sehingga a = ₁ 3

S = ₆ 189

• · A ₁ = 10, q = -2. Cari unsur keempat perkembangan.

Solusi: itu sudah cukup untuk mengungkapkan elemen keempat melalui pertama dan melalui penyebut.

₄ ³ = q · a = ₁ -80

Contoh aplikasi:

• Bank klien telah memberikan kontribusi jumlah 10.000 rubel, di mana setiap tahun klien untuk jumlah pokok akan ditambahkan 6% dari itu meskipun. Berapa banyak uang yang di rekening setelah 4 tahun?

Solusi: jumlah awal sebesar 10 ribu rubel. Jadi, satu tahun setelah investasi di account akan menjadi jumlah yang sama dengan 10000 + 10000 = 10000 · 0,06 · 1,06

Dengan demikian, jumlah dalam rekening bahkan setelah satu tahun akan dinyatakan sebagai berikut:

(10000 · 1,06) · 10000 · 0,06 + 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Artinya, setiap tahun jumlah meningkat menjadi 1,06 kali. Oleh karena itu, untuk menemukan jumlah rekening setelah 4 tahun, itu sudah cukup untuk menemukan perkembangan keempat elemen, yang diberikan elemen pertama sama dengan 10 ribu, dan penyebut sama dengan 1,06.

S = 1,06 · 1,06 · 1,06 · 1,06 · 10000 = 12625

Contoh masalah dalam perhitungan jumlah:

Dalam berbagai masalah menggunakan deret ukur. Contoh menemukan jumlah yang dapat ditetapkan sebagai berikut:

₁ = 4, q = 2, menghitung S _5.

Solusi: semua data yang diperlukan untuk perhitungan diketahui, hanya pengganti mereka ke dalam rumus.

S ₅ = 124

• ₂ = 6, a = ₃ 18. Hitung jumlah dari enam elemen pertama.

solusi:

The Geom. kemajuan setiap elemen yang lebih besar berikutnya dari kali q sebelumnya, yaitu, untuk menghitung jumlah yang Anda perlu mengetahui elemen ₁ dan penyebut q.

₂ · q = ₃

q = 3

Demikian pula, kebutuhan untuk menemukan _{1, 2} dan mengetahui q.

₁ · q = a ₂

₁ = 2

Dan kemudian itu sudah cukup untuk mengganti data yang dikenal dalam jumlah susu formula.

S ₆ = 728.