Fungsi periodik: konsep umum

Seringkali ketika mempelajari fenomena alam, sifat kimia dan fisik berbagai zat, serta memecahkan masalah teknis yang kompleks, seseorang harus menghadapi proses yang ditandai dengan periodisitas, yaitu kecenderungan untuk mengulang setelah jangka waktu tertentu. Untuk deskripsi dan representasi grafis dari siklisitas seperti itu di sains ada fungsi dari jenis khusus - sebuah fungsi periodik.

Contoh yang paling sederhana dan paling mudah dipahami adalah pembalikan planet kita mengelilingi Matahari, di mana sepanjang waktu jarak yang bervariasi antara keduanya mematuhi siklus tahunan. Dengan cara yang sama, pisau turbin kembali ke tempatnya, setelah melakukan revolusi penuh. Semua proses seperti itu dapat digambarkan dengan nilai matematis seperti fungsi periodik. Pada umumnya, seluruh dunia kita bersifat siklis. Ini berarti bahwa fungsi periodik juga menempati tempat penting dalam sistem koordinat manusia.

Kebutuhan akan ilmu matematika dalam teori bilangan, topologi, persamaan diferensial dan perhitungan geometrik yang tepat menyebabkan kemunculan abad kesembilan belas kategori fungsi baru dengan sifat yang tidak biasa. Mereka adalah fungsi periodik yang mengambil nilai identik pada titik-titik tertentu sebagai hasil transformasi kompleks. Sekarang mereka diaplikasikan di banyak cabang matematika dan ilmu lainnya. Misalnya, dalam mempelajari berbagai efek getaran dalam fisika gelombang.

Buku teks matematika yang berbeda memberikan definisi fungsi periodik yang berbeda. Namun, terlepas dari perbedaan ini dalam formulasi, semuanya setara, karena mereka menggambarkan sifat fungsi yang sama. Definisi berikut bisa menjadi yang paling sederhana dan paling mudah dimengerti. Fungsi yang nilai numeriknya tidak dapat berubah, jika kita menambahkan argumen mereka, bilangan tertentu berbeda dari nol, periode fungsi yang disebut, yang dilambangkan dengan huruf T, disebut periodik. Apa artinya semua ini dalam praktik?

Sebagai contoh, fungsi sederhana dari bentuk: y = f (x) menjadi periodik dalam kasus ketika X memiliki nilai periode tertentu (T). Dari definisi ini, berikut bahwa jika nilai numerik suatu fungsi yang memiliki suatu periode (T) didefinisikan pada salah satu titik (x), maka nilainya juga diketahui pada titik x + T, x = T. Poin penting di sini adalah ketika T fungsi sama dengan nol menjadi identitas. Fungsi periodik dapat memiliki jumlah periode yang berbeda. Pada sebagian besar kasus di antara nilai positif T ada periode dengan indeks numerik terkecil. Ini disebut periode utama. Dan semua nilai T selalu merupakan kelipatannya. Ini adalah properti menarik dan sangat penting lainnya untuk berbagai bidang sains.

Grafik fungsi periodik juga memiliki beberapa keistimewaan. Misalnya, jika T adalah periode utama ungkapan: y = f (x), maka saat membangun grafik fungsi yang diberikan, cukup membangun cabang pada salah satu interval panjang periode, lalu mentransfernya sepanjang sumbu x ke nilai berikut: ± T, ± 2T , ± 3T dan seterusnya. Sebagai kesimpulan, perlu dicatat bahwa tidak setiap fungsi periodik memiliki periode dasar. Contoh klasik dari hal ini adalah fungsi dari Dirichlet matematik Jerman dari bentuk berikut: y = d (x).