Hubungan biner dan sifat-sifatnya

Berbagai macam relasi pada contoh himpunan disertai oleh sejumlah besar konsep, dimulai dengan definisi dan diakhiri dengan analisis analitis tentang paradoks. Ragam konsep yang dibahas dalam artikel di himpunan tidak terbatas. Meskipun, ketika seseorang berbicara tentang tipe ganda, ini berarti hubungan biner di antara beberapa jumlah. Dan juga antara objek atau pernyataan.

Sebagai aturan, hubungan biner dilambangkan dengan simbol R, yaitu jika xRx untuk nilai x dari medan R, properti semacam itu disebut refleksif, di mana x dan x adalah objek pemikiran yang diterima, dan R berfungsi sebagai pertanda tentang beberapa bentuk keterkaitan antara individu . Pada saat yang sama, jika kita mengekspresikan xRy® atau yRx, maka ini mengindikasikan keadaan simetri, di mana ® adalah tanda implikasi, mirip dengan serikat "jika ..., lalu ...." Dan akhirnya, decoding prasasti (xRy yy Rz) ®xRz akan berbicara tentang hubungan transitif, dan simbol u adalah gabungan.

Relasi biner, yang secara simultan bersifat refleksif, simetris dan transitif, disebut keterkaitan kesetaraan. Relasi f adalah sebuah fungsi, dan dari V f dan V f, persamaannya y = z berikut. Fungsi biner sederhana dapat dengan mudah diterapkan pada dua argumen sederhana yang berada dalam urutan tertentu, dan hanya dalam kasus ini ia menyediakannya dengan nilai yang diarahkan pada dua ungkapan yang diambil dalam kasus tertentu.

Kita harus mengatakan bahwa f peta x ke y, Jika f berfungsi sebagai fungsi dengan zona definisi x dan zona nilai y. Namun, bila f ekstrapolasi x ke y, dan y Í z, ini menghasilkan f yang menunjukkan x dalam z. Contoh sederhana: jika f (x) = 2x berlaku untuk bilangan bulat x, maka kita mengatakan bahwa f memetakan kumpulan semua bilangan bulat yang diketahui ke bilangan bulat yang sama, tapi kali ini bilangan genap. Seperti disebutkan di atas, hubungan biner, yang secara simultan bersifat refleksif, simetris dan transitif, adalah keterkaitan kesetaraan.

Prosiding dari hal tersebut di atas, hubungan antara kesetaraan hubungan biner ditentukan oleh sifat:

• Refleksivitas - rasio (M ~ N);
• Simetri - jika kesetaraan M ~ N, maka N ~ M;
• Ketransitifan - jika dua persamaan M ~ N dan N ~ P, maka sebagai hasilnya M ~ P.

Pertimbangkan properti yang diklaim dari hubungan biner secara lebih rinci. Refleksivitas adalah salah satu karakteristik hubungan tertentu, di mana setiap elemen himpunan yang diteliti berada dalam kesetaraan yang diberikan pada dirinya sendiri. Misalnya, antara angka a = c dan aφ c adalah link refleksif, karena selalu a = a, c = c, aφ a, cφ c. Pada saat yang sama, rasio ketimpangan a> c adalah antireflexive, karena ketidaksetaraan a> a tidak dapat ada. Aksioma properti ini dikodekan oleh tanda-tanda: aRc® aRa u cRc, inilah simbol ® yang berarti kata "menarik" (atau "berimplikasi"), dan tanda tangan Anda bertindak sebagai penyatuan "dan" (atau konjungtur). Dari pernyataan ini, berikut bahwa dalam kasus kebenaran putusan aRc, ungkapan aRa dan cRc juga benar adanya.

Simetri memerlukan adanya hubungan bahkan jika objek pemikiran saling dipertukarkan, yaitu untuk hubungan simetris, permutasi objek tidak mengarah pada transformasi jenis "hubungan biner". Misalnya, hubungan persamaan a = c adalah simetris karena ekuivalensi hubungan c = a; Penghakiman a, c juga sama, karena berhubungan dengan hubungannya dengan a.

Sebuah set transitif adalah properti di mana persyaratan berikut terpenuhi: y V x, z V y z z V x, di mana выступает adalah tanda mengganti kata-kata: "if ..., then ...". Rumusnya dapat dibaca secara verbal dengan cara ini: "Jika y bergantung pada x, z adalah milik y, maka z juga bergantung pada x".