Maclaurin dan dekomposisi beberapa fungsi

Belajar matematika canggih harus menyadari bahwa jumlah dari deret pangkat dalam interval konvergensi dari sejumlah kami, adalah angka yang terus-menerus dan tidak terbatas kali fungsi dibedakan. Timbul pertanyaan: apakah mungkin untuk berpendapat bahwa diberikan fungsi f sewenang-wenang (x) - adalah jumlah dari deret pangkat? Artinya, dalam kondisi apa f-tions f (x) dapat diwakili oleh serangkaian kekuasaan? Pentingnya masalah ini adalah bahwa adalah mungkin untuk mengganti sekitar £ Teologi f (x) adalah jumlah dari beberapa istilah pertama dari serangkaian kekuatan, yaitu polinomial. fungsi pengganti tersebut cukup sederhana ekspresi - polinomial - nyaman dan dalam memecahkan masalah-masalah tertentu dalam analisis matematika, yaitu dalam memecahkan integral saat menghitung persamaan diferensial , dll ...

Hal ini membuktikan, bahwa untuk beberapa f-ii f (x), dimana turunan dari (n 1 +) agar -th dapat dihitung, termasuk yang terbaru di sekitar (α - R; x ₀ + R) dari titik x = α rumus yang adil adalah:

Formula ini dinamai ilmuwan terkenal Brooke Taylor. Sejumlah yang berasal dari yang sebelumnya, disebut seri Maclaurin:

Sebuah aturan yang memungkinkan untuk menghasilkan ekspansi dalam serangkaian Maclaurin:

1. Tentukan turunan pertama, kedua, ketiga, ... order.
2. Menghitung apa adalah turunan di x = 0.
3. Rekam Maclaurin seri untuk fungsi ini, dan kemudian untuk menentukan interval konvergensi.
4. Tentukan selang (-R, R), di mana bagian residual formula Maclaurin

R _n (x) -> 0 untuk n -> tak terhingga. Jika ada, itu fungsi f (x) harus sama dengan jumlah dari seri Maclaurin.

Pertimbangkan sekarang seri Maclaurin untuk fungsi individu.

1. Dengan demikian, yang pertama f (x) = e ^x. Tentu saja, bahwa karakteristik mereka sehingga f-Ia telah diturunkan berbagai pesanan, dan f ^{(k) (x)} = e ^x, di mana k adalah sama dengan semua alam nomor. Pengganti x = 0. Kami memperoleh f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... Berdasarkan sebelumnya, sejumlah e ^x Ini akan menjadi sebagai berikut:

2. seri Maclaurin untuk fungsi f (x) = sin x. Segera menentukan bahwa f-tions untuk semua derivatif yang tidak diketahui akan memiliki, selain f ^'(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{f' '(x)} = -sin x = sin (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), di mana k adalah sama dengan setiap bilangan bulat positif. Artinya, membuat perhitungan sederhana, kita dapat menyimpulkan bahwa seri untuk f (x) = sin x akan menjadi seperti ini:

3. Sekarang mari kita mempertimbangkan iju f-f (x) = cos x. Tidak diketahui untuk semua turunan dari urutan sewenang-wenang, dan ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Sekali lagi, itu telah membuat beberapa perhitungan, kita menemukan bahwa seri untuk f (x) = cos x akan terlihat seperti ini:

Jadi, kami telah mendaftarkan fitur yang paling penting yang dapat diperluas dalam serangkaian Maclaurin, tetapi mereka melengkapi seri Taylor untuk beberapa fungsi. Sekarang kita akan daftar mereka juga. Hal ini juga harus dicatat bahwa Taylor seri dan seri Maclaurin adalah bagian penting dari seri lokakarya keputusan dalam matematika yang lebih tinggi. Jadi, Taylor seri.

1. Yang pertama adalah serangkaian f-ii f (x) = ln (1 + x). Seperti pada contoh sebelumnya, karena kita ini f (x) = ln (1 + x) bisa dilipat angka, menggunakan bentuk umum dari seri Maclaurin. tapi untuk fitur ini Maclaurin dapat diperoleh jauh lebih mudah. Mengintegrasikan serangkaian geometris, kita memperoleh nomor untuk f (x) = ln (1 + x) dari sampel:

2. Dan kedua, yang akan menjadi akhir dalam artikel ini, akan menjadi seri untuk f (x) = arctg x. Untuk x milik interval [-1; 1] adalah dekomposisi valid:

Itu saja. Pada artikel ini saya telah disurvei seri Taylor yang paling sering digunakan dan seri Maclaurin dalam matematika yang lebih tinggi, khususnya di perguruan tinggi ekonomi dan teknis.