Sistem persamaan aljabar linier. Sistem persamaan aljabar linier homogen

Kembali ke sekolah, masing-masing dari kita mempelajari persamaan dan, mungkin, sistem persamaan. Tapi tidak banyak orang yang tahu bahwa ada beberapa cara untuk mengatasinya. Hari ini kita akan membahas secara rinci semua metode untuk memecahkan suatu sistem persamaan aljabar linier yang terdiri dari lebih dari dua persamaan.

Sejarah

Sampai saat ini, diketahui bahwa seni memecahkan persamaan dan sistem mereka berasal dari Babel kuno dan Mesir. Namun, persamaan dalam bentuknya yang biasa bagi kita muncul setelah munculnya tanda persamaan "=", yang diperkenalkan pada tahun 1556 oleh Ahli Matematika Inggris Record. By the way, tanda ini dipilih karena suatu alasan: itu berarti dua segmen sejajar sejajar. Dan memang benar bahwa contoh kesetaraan terbaik tidak bisa dibayangkan.

Pendiri alfabet alfabet modern yang tidak diketahui dan tanda-tanda derajatnya adalah matematikawan Prancis Francois Viet. Namun, sebutannya berbeda secara signifikan dari hari ini. Misalnya, kuadrat dari nomor tak dikenal dilambangkan dengan huruf Q (bahasa Latin "kuadratus"), dan kubusnya dengan huruf C (bahasa Latin "cubus"). Perumpamaan ini sekarang tampak tidak nyaman, tapi kemudian cara yang paling mudah dipahami untuk menulis sistem persamaan aljabar linier.

Namun, kelemahan metode metode penyelesaiannya adalah matematikawan hanya menganggap akar positif. Mungkin ini karena fakta bahwa nilai negatif tidak memiliki aplikasi praktis. Bagaimanapun, matematikawan Italia Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano dan Rafael Bombelli pada abad ke-16 adalah orang pertama yang menganggap akar negatifnya. Bentuk modern, metode utama untuk memecahkan persamaan kuadrat (melalui diskriminan) diciptakan hanya di abad ke-17 berkat karya Descartes dan Newton.

Pada pertengahan abad ke-18, matematikawan Swiss Gabriel Kramer menemukan cara baru untuk membuat sistem penyelesaian persamaan linier menjadi lebih mudah. Metode ini kemudian dinamai menurut namanya dan sampai hari ini kita menggunakannya. Tapi kita akan membicarakan metode Cramer sedikit kemudian, tapi untuk saat ini, kita akan membahas persamaan dan metode linear untuk memecahkannya secara terpisah dari sistem.

Persamaan linier

Persamaan linear adalah persamaan yang paling sederhana dengan variabel (s). Mereka tergolong algebraic. Persamaan linier ditulis dalam bentuk umum sebagai berikut: a ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... a _n * x _n = b. Representasi mereka dalam bentuk ini diperlukan untuk kompilasi sistem dan matriks lebih jauh.

Sistem persamaan aljabar linier

Definisi istilah ini adalah: ini adalah kumpulan persamaan yang memiliki jumlah umum yang tidak diketahui dan solusi yang umum. Sebagai aturan, di sekolah, semuanya diselesaikan oleh sistem dengan dua atau bahkan tiga persamaan. Tapi ada sistem dengan empat atau lebih komponen. Mari kita lihat dulu bagaimana cara menuliskannya sehingga di masa depan itu mudah untuk dipecahkan. Pertama, sistem persamaan aljabar linier akan terlihat lebih baik jika semua variabel ditulis sebagai x dengan indeks yang sesuai: 1,2,3 dan seterusnya. Kedua, perlu membawa semua persamaan ke bentuk kanonik: a ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... a _n * x _n = b.

Setelah semua tindakan ini, kita bisa mulai menceritakan bagaimana menemukan solusi terhadap sistem persamaan linier. Sangat banyak untuk ini kita membutuhkan matrik.

Matriks

Matriks adalah tabel yang terdiri dari baris dan kolom, dan pada persimpangannya adalah elemennya. Ini bisa berupa nilai atau variabel tertentu. Paling sering, untuk menunjukkan unsur-unsurnya, mereka ditempatkan di bawah subskrip (misalnya, gambar ₁₁ atau ₂₃ ). Indeks pertama adalah nomor baris, dan yang kedua adalah kolomnya. Lebih dari matriks, dan juga elemen matematis lainnya, Anda dapat melakukan berbagai operasi. Dengan demikian, Anda dapat:

1) Kurangi dan tambahkan tabel ukuran yang sama.

2) Kalikan matriks dengan angka atau vektor.

3) Transpos: ubah baris matriks menjadi kolom, dan kolom - baris.

4) Kalikan matriks jika jumlah baris dari salah satunya sama dengan jumlah kolom yang lain.

Kami akan membahas semua teknik ini secara lebih rinci, karena akan bermanfaat bagi kami di masa depan. Pengurangan dan penambahan matrik sangat sederhana. Karena kita mengambil matriks dengan ukuran yang sama, setiap elemen dari satu tabel sesuai dengan masing-masing elemen lainnya. Dengan demikian kita menambahkan (mengurangi) kedua elemen ini (penting agar mereka berdiri di tempat yang sama di matrik mereka). Saat mengalikan matriks dengan angka atau vektor, Anda cukup mengalikan setiap elemen matriks dengan angka (atau vektor) itu. Transposisi adalah proses yang sangat menarik. Terkadang sangat menarik untuk dilihat dalam kehidupan nyata, misalnya saat mengubah orientasi tablet atau ponsel. Ikon pada desktop adalah matriks, dan bila posisi berubah, ikon akan berubah dan menjadi lebih lebar, namun semakin tinggi.

Mari kita analisa masih proses seperti itu, sebagai perkalian matriks. Meski tidak berguna, masih akan berguna untuk mengetahuinya. Kalikan dua matrik hanya jika jumlah kolom dari satu tabel sama dengan jumlah baris yang lain. Sekarang kita mengambil elemen dari garis satu matriks dan elemen kolom yang sesuai dari yang lain. Kami memperbanyaknya satu per satu dan kemudian menambahkannya (yaitu, misalnya, produk dari unsur-unsur a ₁₁ dan ₁₂ oleh b ₁₂ dan b ₂₂ adalah: a ₁₁ * b ₁₂ + a ₁₂ * b ₂₂ ). Jadi, satu elemen dari tabel diperoleh, dan metode yang sama terisi lebih jauh.

Sekarang kita bisa mulai mempertimbangkan bagaimana sistem persamaan linier terpecahkan.

Metode Gauss

Topik ini mulai berlangsung di sekolah. Kita tahu konsep "sistem dari dua persamaan linier" dengan baik dan bisa menyelesaikannya. Tapi bagaimana jika jumlah persamaannya lebih besar dari dua? Metode Gauss akan membantu kita dalam hal ini .

Tentu, lebih mudah menggunakan metode ini jika kita membuat matriks dari sistem. Tapi Anda tidak bisa mengubahnya dan mengatasinya dalam bentuk aslinya.

Jadi bagaimana sistem persamaan Gauss linier memecahkan metode ini? By the way, meskipun metode ini dinamai menurut namanya, tapi ditemukan di zaman kuno. Gauss menyarankan hal berikut: untuk melakukan operasi dengan persamaan, untuk akhirnya memimpin keseluruhan agregat ke bentuk seperti langkah. Artinya, perlu bahwa dari atas ke bawah (jika diatur dengan benar) dari persamaan pertama ke yang terakhir akan turun satu hal yang tidak diketahui. Dengan kata lain, kita perlu membuatnya sehingga kita bisa, katakanlah, tiga persamaan: di pertama - tiga yang tidak diketahui, di urutan kedua - dua, di urutan ketiga. Kemudian dari persamaan terakhir kita menemukan yang pertama tidak diketahui, ganti nilainya pada persamaan kedua atau persamaan pertama, dan kemudian cari dua variabel yang tersisa.

Metode Cramer

Untuk menguasai metode ini, sangat penting untuk memiliki keterampilan penambahan, pengurangan matrik, dan juga untuk dapat menemukan faktor penentu. Karena itu, jika Anda melakukannya dengan buruk atau tidak tahu caranya, Anda harus belajar dan berlatih.

Apa inti dari metode ini, dan bagaimana membuatnya agar sistem persamaan Cramer linier diperoleh? Ini sangat sederhana. Kita harus membuat matriks koefisien numerik (hampir selalu) dari sistem persamaan aljabar linier. Untuk melakukan ini, ambil saja nomor di depan yang tidak diketahui dan letakkan di tabel sesuai urutan penulisannya di sistem. Jika ada tanda "-" di depan nomor tersebut, maka tulislah sebuah koefisien negatif. Jadi, kita menyusun matriks pertama dari koefisien untuk yang tidak diketahui, tidak termasuk angka setelah tanda sama (wajar jika persamaan tersebut harus dikurangi menjadi bentuk kanonik, bila sisi kanan hanya berisi bilangan, dan ke kiri semua yang tidak diketahui dengan koefisien). Kemudian kita perlu membuat beberapa matriks lagi, satu untuk setiap variabel. Untuk melakukan ini, ganti matriks pertama pada gilirannya, setiap kolom dengan koefisien kolom angka setelah tanda sama. Dengan demikian kita mendapatkan beberapa matriks dan kemudian menemukan faktor penentunya.

Setelah kami menemukan faktor penentu, itu adalah hal kecil. Kami memiliki matriks awal, dan ada beberapa matriks yang diperoleh yang sesuai dengan variabel yang berbeda. Untuk mendapatkan solusi sistem, kita membagi determinan tabel yang diperoleh menjadi penentu tabel awal. Jumlah yang dihasilkan adalah nilai salah satu variabel. Demikian pula, kita menemukan semua yang tidak diketahui.

Metode lainnya

Ada beberapa metode lain untuk mendapatkan solusi sistem persamaan linier. Sebagai contoh, metode Gauss-Jordan yang disebut, yang digunakan untuk menemukan solusi terhadap sistem persamaan kuadrat, juga terkait dengan penggunaan matriks. Ada juga metode Jacobi untuk memecahkan suatu sistem persamaan aljabar linier. Ini adalah komputer yang paling mudah beradaptasi dan digunakan dalam teknologi komputer.

Kasus kompleks

Kompleksitas biasanya muncul jika jumlah persamaannya kurang dari jumlah variabel. Kemudian kita dapat dengan pasti mengatakan bahwa baik sistem tidak konsisten (artinya, tidak memiliki akar) atau jumlah solusinya cenderung tidak terbatas. Jika kita memiliki kasus kedua, maka kita perlu menuliskan solusi umum dari sistem persamaan linier. Ini akan berisi setidaknya satu variabel.

Kesimpulan

Jadi kita sampai pada akhirnya. Mari kita menyimpulkan: kita telah menganalisis apa itu sistem dan matriks, dan kita telah belajar bagaimana menemukan solusi umum dari sistem persamaan linier. Selain itu, kami mempertimbangkan pilihan lain. Kami menemukan bagaimana sistem persamaan linier dipecahkan: metode Gauss dan metode Cramer. Kami membicarakan kasus rumit dan cara lain untuk menemukan solusi.

Sebenarnya, topik ini jauh lebih luas, dan jika Anda ingin lebih memahaminya, sebaiknya baca lebih banyak literatur khusus.