Ruang Euclidean: konsep, sifat, tanda

Kembali ke sekolah, semua siswa berkenalan dengan konsep "geometri Euclidean", ketentuan utama difokuskan pada beberapa aksioma, berdasarkan elemen geometrik seperti titik, bidang, garis, gerakan. Semuanya dalam bentuk agregat yang telah lama dikenal dengan istilah "ruang Euclidean".

Ruang Euclidean , yang definisinya didasarkan pada perkalian skalar vektor, adalah kasus khusus dari ruang linier (affine) yang memenuhi sejumlah persyaratan. Pertama, produk skalar dari vektor benar-benar simetris, yaitu vektor dengan koordinat (x; y) secara kuantitatif identik dengan vektor dengan koordinat (y; x), namun berlawanan arahnya.

Kedua, jika produk skalar dari vektor diproduksi dengan sendirinya, hasil dari tindakan ini akan menjadi positif. Satu-satunya pengecualian adalah kasus ketika koordinat awal dan terakhir dari vektor ini adalah nol: dalam kasus ini, dan produknya dengan sendirinya akan sama dengan nol.

Ketiga, ada distribusi produk skalar, yaitu kemungkinan untuk menguraikan salah satu koordinatnya menjadi sejumlah dua nilai, yang tidak memerlukan perubahan pada hasil akhir dari perkalian skalar vektor. Akhirnya, keempat, ketika vektor dikalikan dengan bilangan real yang sama , produk skalar mereka juga akan meningkat dengan faktor yang sama.

Jika keempat kondisi ini terpenuhi, kita dapat mengatakan dengan yakin bahwa kita memiliki ruang Euclidean sebelum kita.

Ruang Euclidean dari sudut pandang praktis dapat dicirikan oleh contoh konkret berikut ini:

1. Kasus yang paling sederhana adalah adanya satu set vektor dengan produk skalar yang ditentukan oleh hukum dasar geometri.
2. Ruang Euclidean diperoleh juga dalam kasus ketika oleh vektor yang kita maksud adalah kumpulan bilangan real tertentu yang terbatas dengan formula tertentu yang menjelaskan jumlah skalar atau produknya.
3. Kasus khusus ruang Euclidean adalah ruang nol yang disebut, yang diperoleh jika panjang skalar kedua vektor adalah nol.

Ruang Euclidean memiliki sejumlah sifat spesifik. Pertama, penggali skalar dapat diambil dari tanda kurung baik dari yang pertama maupun dari faktor kedua dari produk skalar, akibatnya tidak akan mengalami perubahan. Kedua, seiring dengan distribusi elemen pertama dari produk skalar, distribusi elemen kedua juga bertindak. Sebagai tambahan, selain jumlah skalar dari vektor, distribusi juga terjadi dalam kasus pengurangan vektor. Akhirnya, ketiga, dengan perkalian skalar vektor nol, hasilnya juga akan nol.

Dengan demikian, ruang Euclidean adalah konsep geometris yang paling penting yang digunakan dalam memecahkan masalah dengan posisi relatif vektor relatif terhadap satu sama lain, untuk karakterisasi yang digunakan oleh suatu gagasan seperti produk skalar.