Linier dan persamaan diferensial homogen urutan pertama. contoh solusi

Saya pikir kita harus mulai dengan sejarah alat matematika yang mulia sebagai persamaan diferensial. Seperti semua diferensial dan kalkulus integral, persamaan ini ditemukan oleh Newton pada akhir abad ke-17. Dia percaya itu penemuannya sangat penting bahwa bahkan pesan terenkripsi, yang hari ini dapat diterjemahkan sebagai berikut: "Semua hukum alam dijelaskan oleh persamaan diferensial" Ini mungkin tampak berlebihan, tapi itu benar. Hukum fisika, kimia, biologi, dapat dijelaskan oleh persamaan ini.

Kontribusi yang sangat besar untuk pengembangan dan penciptaan teori persamaan diferensial memiliki matematika Euler dan Lagrange. Sudah di abad ke-18 mereka menemukan dan mengembangkan apa yang sekarang belajar di program universitas senior.

Sebuah tonggak baru dalam studi tentang persamaan diferensial mulai berkat Anri Puankare. Dia menciptakan sebuah "teori kualitatif persamaan diferensial", yang dikombinasikan dengan teori fungsi variabel kompleks kontribusi signifikan terhadap dasar topologi - ilmu ruang dan sifat-sifatnya.

Apa persamaan diferensial?

Banyak orang takut frase "persamaan diferensial". Namun, dalam artikel ini kita akan mengatur secara rinci esensi dari alat matematika yang sangat berguna ini yang sebenarnya tidak serumit tampaknya dari judul. Dalam rangka untuk mulai berbicara tentang persamaan diferensial orde pertama, Anda harus terlebih dahulu berkenalan dengan konsep-konsep dasar yang inheren terkait dengan definisi ini. Dan kita akan mulai dengan diferensial tersebut.

diferensial

Banyak orang tahu istilah ini sejak SMA. Namun, masih memikirkan hal itu secara rinci. Bayangkan grafik fungsi. Kita dapat meningkatkan itu sedemikian rupa bahwa setiap segmennya menjadi garis lurus. Ini akan mengambil dua poin yang jauh dekat satu sama lain. Perbedaan antara koordinat mereka (x atau y) adalah sangat kecil. Dan itu disebut diferensial dan karakter menunjuk dy (diferensial dari y) dan dx (diferensial dari x). Hal ini penting untuk memahami bahwa diferensial bukanlah nilai akhir, dan ini adalah makna dan fungsi utama.

Dan sekarang Anda harus mempertimbangkan unsur-unsur berikut, yang kita perlu menjelaskan konsep persamaan diferensial. Hal - derivatif.

turunan

Semua dari kita pasti sudah mendengar di sekolah dan gagasan ini. Mereka mengatakan bahwa turunan - adalah tingkat pertumbuhan atau penurunan fungsi. Namun, definisi ini menjadi lebih membingungkan. Mari kita mencoba untuk menjelaskan hal turunan dari perbedaan. Mari kita kembali ke fungsi selang sangat kecil dengan dua poin, yang terletak pada jarak minimum dari satu sama lain. Tapi bahkan di luar fungsi jarak ini adalah waktu untuk mengubah beberapa nilai. Dan untuk menggambarkan perubahan itu dan datang dengan turunan yang seharusnya dapat ditulis sebagai rasio dari perbedaan: f (x) '= df / dx.

Sekarang perlu mempertimbangkan sifat dasar dari turunan. Hanya ada tiga:

1. sum turunan atau perbedaan dapat direpresentasikan sebagai jumlah atau perbedaan derivatif: (a + b) '= a' + b 'dan (ab)' = a'-b'.
2. Sifat kedua terhubung dengan perkalian. karya turunan - adalah jumlah dari karya satu fungsi turunan lain: (a * b) '= a' * b + a * b'.
3. Turunan dari perbedaan dapat ditulis sebagai persamaan berikut: (a / b) '= (a' * ba * b ') / b ^2.

Semua fitur ini berguna untuk mencari solusi bagi persamaan diferensial urutan pertama.

Juga, ada turunan parsial. Misalkan kita memiliki fungsi z, yang tergantung pada variabel x dan y. Untuk menghitung turunan parsial dari fungsi ini, misalnya, di x, kita perlu mengambil variabel y untuk konstan dan mudah untuk membedakan.

integral

Konsep lain yang penting - terpisahkan. Bahkan itu adalah kebalikan dari turunan. Integral beberapa jenis, tetapi solusi yang paling sederhana dari persamaan diferensial, kita membutuhkan paling sepele integral tak tentu.

Jadi, apa yang tidak terpisahkan? Katakanlah kita memiliki beberapa hubungan f dari x. Kami mengambil dari itu integral dan mendapatkan fungsi F (x) (sering disebut sebagai primitif), yang merupakan turunan dari fungsi asli. Oleh karena itu F (x) '= f (x). Ini juga menyiratkan bahwa integral dari derivatif adalah sama dengan fungsi asli.

Dalam memecahkan persamaan diferensial sangat penting untuk memahami arti dan fungsi integral, karena sangat sering harus membawa mereka untuk menemukan solusi.

Persamaan yang berbeda tergantung pada sifat mereka. Pada bagian berikutnya kita akan melihat jenis persamaan diferensial orde pertama, dan kemudian belajar bagaimana menyelesaikannya.

Kelas persamaan diferensial

"Diffury" dibagi dengan urutan derivatif yang terlibat di dalamnya. Jadi ada urutan pertama, kedua, ketiga atau lebih. Mereka juga dapat dibagi menjadi beberapa kelas: biasa dan parsial.

Pada artikel ini, kita akan mempertimbangkan persamaan diferensial biasa dari urutan pertama. Contoh dan solusi yang kami bahas dalam bagian berikut. Kita hanya mempertimbangkan TAC karena itu adalah jenis yang paling umum dari persamaan. Biasa dibagi menjadi subspesies: dengan variabel dipisahkan, homogen dan heterogen. Berikutnya Anda akan belajar bagaimana mereka berbeda satu sama lain, dan belajar bagaimana menyelesaikannya.

Selain itu, persamaan ini dapat dikombinasikan, sehingga setelah kita mendapatkan sistem persamaan diferensial urutan pertama. sistem seperti ini, kami juga melihat dan belajar bagaimana memecahkan.

Mengapa kita hanya mempertimbangkan urutan pertama? Karena itu perlu untuk memulai dengan sederhana dan menjelaskan semua yang berhubungan dengan persamaan diferensial, dalam satu artikel adalah mustahil.

Persamaan dengan variabel dipisahkan

Ini mungkin yang paling sederhana pertama persamaan diferensial orde. Ini adalah contoh yang dapat ditulis sebagai: y '= f (x) * f (y). Untuk menyelesaikan persamaan ini kita perlu rumus representasi dari derivatif rasio perbedaan: y '= dy / dx. Dengan itu kita memperoleh persamaan: dy / dx = f (x) * f (y). Sekarang kita dapat beralih ke metode pemecahan contoh standar: memisahkan variabel dalam bagian, yaitu maju cepat semua variabel y di bagian mana ada dy, dan juga membuat variabel x ... Kami memperoleh persamaan dalam bentuk: dy / f (y) = f (x) dx, yang dicapai dengan mengambil integral dari dua bagian. Jangan lupa tentang konstan yang Anda ingin menempatkan setelah integrasi.

Solusi dari setiap "diffura" - adalah fungsi dari x oleh y (dalam kasus kami), atau jika ada kondisi numerik, jawabannya adalah nomor. Mari kita memeriksa contoh konkret seluruh kursus keputusan:

y '= 2y * sin (x)

Mentransfer variabel dalam arah yang berbeda:

dy / y = 2 * sin (x) dx

Sekarang ambil integral. Semua dari mereka dapat ditemukan di sebuah meja khusus integral. Dan kita mendapatkan:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Jika diperlukan, kita bisa mengekspresikan "y" sebagai fungsi dari "X". Sekarang kita dapat mengatakan bahwa persamaan diferensial kami diselesaikan, jika tidak ditentukan kondisi. Dapat ditentukan kondisi, misalnya, y (n / 2) = e. Kemudian kita hanya akan mengganti nilai variabel-variabel ini dalam keputusan dan menemukan nilai konstanta. Dalam contoh kita, itu adalah 1.

Homogen urutan pertama persamaan diferensial

Sekarang ke bagian yang lebih kompleks. Homogen pertama persamaan diferensial orde dapat ditulis dalam bentuk umum sebagai: y '= z (x, y). Perlu dicatat bahwa fungsi yang tepat dari dua variabel adalah seragam, dan tidak dapat dibagi menjadi dua tergantung pada: z x dan z dari y. Periksa apakah persamaan adalah homogen atau tidak, cukup sederhana: kita membuat substitusi x = k * x dan y = k * y. Sekarang kita memotong semua k. Jika surat-surat ini dijatuhkan, maka persamaan homogen dan dapat dengan aman melanjutkan ke solusinya. Ke depan, kita katakan: prinsip solusi dari contoh-contoh ini juga sangat sederhana.

Kita perlu membuat substitusi: y = t (x) * x, di mana t - fungsi yang juga tergantung pada x. Kemudian kita dapat mengekspresikan derivatif: y '= t' (x) * x + t. Mengganti semua ini ke dalam persamaan asli kita dan menyederhanakan itu, kita memiliki contoh dari pemisahan variabel t sebagai x. Mengatasinya dan mendapatkan ketergantungan t (x). Ketika kita mendapatkannya, hanya pengganti sebelumnya kami substitusi y = t (x) * x. Kemudian kita memperoleh ketergantungan y pada x.

Untuk membuatnya lebih jelas, kita akan memahami contoh: x * y '= yx * e y / x.

Ketika memeriksa penggantian semua menurun. Jadi, persamaan adalah benar-benar homogen. Sekarang membuat substitusi lain, kita berbicara tentang: y = t (x) * x dan y '= t' (x) * x + t (x). Setelah penyederhanaan persamaan berikut: t '(x) * x = -e t. Kami memutuskan untuk mendapatkan sampel dengan variabel terpisah dan kita ^{mendapatkan: e t = ln (C *} x). Kita hanya perlu mengganti t dengan y / x (karena jika y = t * x, maka t = y / x), dan kami mendapatkan ^{jawabannya: e -y / x = ln (} x * C).

persamaan diferensial linear dari urutan pertama

Sudah waktunya untuk mempertimbangkan topik yang luas yang lain. Kita akan melihat heterogen orde pertama persamaan diferensial. Bagaimana mereka berbeda dari dua sebelumnya? Mari kita hadapi itu. Linear persamaan diferensial urutan pertama dalam bentuk umum dari persamaan dapat ditulis demikian: y '+ g (x) * y = z (x). Perlu diklarifikasi bahwa z (x) dan g (x) mungkin nilai-nilai konstan.

Berikut ini adalah contoh: y '- y * x = x ^2.

Ada dua cara untuk memecahkan, dan kami memesan Mari kita memeriksa keduanya. Yang pertama - metode variasi konstanta sewenang-wenang.

Untuk menyelesaikan persamaan dengan cara ini, perlu untuk menyamakan sisi kanan pertama ke nol, dan memecahkan persamaan yang dihasilkan yang setelah transfer bagian menjadi:

y '= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = Xdx;

ln | y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{x2 / 2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

Sekarang perlu mengganti konstanta C ₁ pada fungsi v (x), yang kita akan menemukan.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Menggambar turunan pengganti:

^{y '= v' * e x2} / ² x * v * e ^{x2 / 2.}

Dan menggantikan ekspresi ini ke dalam persamaan asli:

v '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Anda dapat melihat bahwa di sisi kiri kedua istilah ini berkurang. Jika beberapa contoh itu tidak terjadi, maka Anda telah melakukan sesuatu yang salah. Kami terus:

v '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Sekarang kita menyelesaikan persamaan biasa di mana Anda ingin memisahkan variabel:

dv / dx = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

dv = x ² * e ^{- x2 / 2} dx.

Untuk menghapus integral, kita harus menerapkan integrasi dengan bagian-bagian di sini. Namun, ini bukan topik artikel ini. Jika Anda tertarik, Anda dapat belajar sendiri untuk melaksanakan tindakan tersebut. Hal ini tidak sulit, dan dengan keterampilan yang cukup dan perawatan tidak memakan waktu.

Mengacu pada metode kedua solusi dari persamaan homogen: metode Bernoulli. Apa pendekatan yang lebih cepat dan lebih mudah - itu terserah Anda.

Jadi, ketika memecahkan metode ini, kita perlu membuat substitusi: y = k * n. Di sini, k dan n - beberapa fungsi tergantung pada x. Kemudian derivatif akan terlihat seperti: y '= k' * n + k * n'. Pengganti dua pergantian pemain dalam persamaan:

k '* n + k * n ' + x * k * n = x ^2.

Kelompok up:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

Sekarang perlu untuk menyamakan dengan nol, yang dalam tanda kurung. Sekarang, jika Anda menggabungkan dua persamaan yang dihasilkan, kita memperoleh sistem persamaan diferensial urutan pertama harus dipecahkan:

n '+ x * n = 0;

* K' n = x ^2.

Kesetaraan pertama memutuskan bagaimana persamaan biasa. Untuk melakukan ini, Anda perlu untuk memisahkan variabel:

dn / dx = x * v;

dn / n = Xdx.

Kami mengambil integral dan kita memperoleh: ln (n) = x ^2/2. Kemudian, jika kita mengekspresikan n:

n = e ^{x2 / 2.}

Sekarang menggantikan persamaan yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua:

k '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Dan mengubah, kita memperoleh persamaan yang sama seperti pada metode pertama:

dk = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Kami juga tidak akan membahas tindakan lebih lanjut. Dikatakan bahwa pada awalnya persamaan diferensial orde pertama solusi menyebabkan kesulitan yang cukup besar. Namun, perendaman lebih dalam topik mulai mendapatkan lebih baik dan lebih baik.

Dimana persamaan diferensial?

persamaan yang sangat aktif diferensial digunakan dalam fisika, karena hampir semua hukum dasar ditulis dalam bentuk diferensial, dan orang-orang formula, yang kita lihat - solusi untuk persamaan ini. Dalam kimia, mereka digunakan untuk alasan yang sama: hukum dasar yang berasal melalui mereka. Dalam biologi, persamaan diferensial digunakan untuk model perilaku sistem, seperti predator - mangsa. Mereka juga dapat digunakan untuk membuat model reproduksi, misalnya, koloni mikroorganisme.

Sebagai persamaan diferensial membantu dalam kehidupan?

Jawaban atas pertanyaan ini adalah sederhana: apa-apa. Jika Anda bukan seorang ilmuwan atau insinyur, tidak mungkin bahwa mereka akan berguna. Namun, tidak ada salahnya untuk mengetahui apa persamaan diferensial dan diselesaikan untuk pembangunan secara keseluruhan. Dan kemudian pertanyaan dari seorang putra atau putri, "apa persamaan diferensial?" tidak menempatkan Anda dalam jalan buntu. Nah, jika Anda seorang ilmuwan atau insinyur, maka Anda tahu pentingnya topik ini dalam ilmu apapun. Tapi yang paling penting, yang sekarang untuk pertanyaan "bagaimana memecahkan persamaan diferensial urutan pertama?" Anda akan selalu dapat memberikan jawaban. Setuju, itu selalu bagus ketika Anda menyadari bahwa apa yang orang bahkan takut untuk mencari tahu.

Masalah utama dalam penelitian ini

Masalah utama dalam memahami topik ini adalah kebiasaan buruk fungsi integrasi dan diferensiasi. Jika Anda merasa tidak nyaman MENANGGUNG turunan dan integral, itu mungkin bernilai lebih untuk belajar, belajar metode yang berbeda dari integrasi dan diferensiasi, dan hanya kemudian melanjutkan untuk mempelajari materi yang telah dijelaskan dalam artikel.

Beberapa orang terkejut mengetahui bahwa dx dapat ditransfer, seperti sebelumnya (di sekolah) berpendapat bahwa fraksi dy / dx adalah terpisahkan. Kemudian Anda perlu membaca literatur tentang turunan dan memahami bahwa itu adalah sikap jumlah jauh lebih kecil, yang dapat dimanipulasi dalam memecahkan persamaan.

Banyak orang tidak segera menyadari bahwa solusi dari persamaan diferensial dari urutan pertama - ini sering merupakan fungsi atau neberuschiysya integral, dan kebodohan ini memberi mereka banyak masalah.

Apa lagi yang bisa dipelajari untuk lebih memahami?

Hal terbaik adalah mulai perendaman jauh ke dalam dunia kalkulus diferensial buku pelajaran khusus, misalnya, dalam analisis matematika untuk siswa dari spesialisasi non-matematika. Anda kemudian dapat pindah ke literatur yang lebih khusus.

Dikatakan bahwa, selain diferensial ini, masih ada persamaan integral, sehingga Anda akan selalu memiliki sesuatu untuk diperjuangkan dan apa untuk belajar.

kesimpulan

Kami berharap bahwa setelah membaca artikel ini Anda akan memiliki gagasan tentang apa persamaan diferensial dan bagaimana menyelesaikannya dengan benar.

Dalam kasus apapun, matematika dengan cara apapun berguna bagi kita dalam kehidupan. Ini mengembangkan logika dan perhatian, tanpa mana setiap manusia, karena tanpa tangan.